本文转自徐飞翔的“投影相机，透视相机，弱透视相机和仿射相机的区别和联系 ”

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投影相机（projective camera）

相机说到底是一种从3D的现实世界中的点投影到2D平面上点的工具，那么作为这个投影 $\mathcal{P}^{3} \rightarrow \mathcal{P}^2$ ，对其描述最为通用的莫过于在齐次坐标系下，用：

其中3D点 $\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3, X_4)^{\mathrm{T}}$ 和2D点 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^{\mathrm{T}}$ 采用齐次坐标系描述[6]。不难知道，其非齐次坐标系表达为：

虽然变换矩阵 $\mathcal{M} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 是一个有着12个元素的矩阵，但是因为对于坐标而言，最重要的是比例关系，因此我们可以对 $\mathcal{M}$ 进行尺度缩放，不妨将其全部除以 $T_{34}$ ，得到 $\dfrac{1}{T_{34}} \mathcal{M}$ 在这个新的变换矩阵中，原先 $T_{34}$ 的位置变成了1，因此其实其自由度只有11，而不是12.（对于理解这里的尺度变化，我

们可以这样认为，我们新投影出来的2D图像的尺度大小是可以变化的，比如原先是 $800 \times 600$ ，尺度变换后可能就变成了 $400 \times 300$ ，其比例还是一样的，因此图中点的坐标其实比例也是不变的）

我们把有这种关系的相机称之为投影相机(projective camera)，显然，投影相机是非线性的[7]，这里指的非线性是图像显示的尺寸大小和真实尺寸大小不成线性比例，具体见[7]讨论。透视相机（perspective camera）

投影相机的一种特殊例子也是更为常见的例子是所谓的透视相机(perspective camera)，这种相机的投影方式称之为透视投影（perspective projection）或者是中心投影(central projection)。跟一般的，当其变换矩阵 $\mathcal{M}$ 的最左边 $3 \times 3$ 矩阵是一个旋转矩阵[8]，并且这个旋转矩阵的尺度放缩因子是时，透视相机模型成为我们熟悉的针孔模型的表达[9]，如：

其中最简单的形式莫过于是

于是有了熟悉的针孔模型的表达：

注意到我们是对每个点的深度Z进行反比放缩的，这一点很重要，这个导致了透视相机的成像的非线性性，见[7]中的讨论。

仿射相机（affine camera）

仿射相机也是投影相机的一种特殊情况，其变换矩阵为：

考虑到通常我们也会把 $T_{34}$ 设置为一个常数，比如1，因此现在的自由度变成了8。

于是，投影后的坐标为：

注意到其分母是 $T_{34}X_4$ 是一个常数，因此其投影后的坐标 ( x , y ) 是一个只由决定了的线性关系。这个很特殊，因为在这种情况下，通常透视关系之下不再保存的平行关系，也会在仿射相机中保留下来。一般性的透视关系中不保留平行关系的例子见[8]。因为其线性性，仿射相机可以用更简单的，非齐次坐标系的表达方式，如：